Question

11．已知a_n+1=2a_n+3（n∈N^*），且a₁=1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S₂₀．

Answer 1

分析 （1）將遞推公式化為：a_n+1+3=2（a_n+3），利用等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n；
（2）由（1）求出的通項(xiàng)公式a_n，利用分組求和法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S₂₀．

解答 解：（1）由題意得，a_n+1=2a_n+3，則a_n+1+3=2（a_n+3），
所以$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}=2$，
又a₁=1，則a₁+3=4，
所以數(shù)列{a_n+3}是以4為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，則a_n=2ⁿ⁺¹-3；
（2）由（1）得，S₂₀=（2²-3）+（2³-3）+…+（2²¹-3）
=2²+2³+…+2²¹-3×20
=$\frac{4（1-{2}^{20}）}{1-2}$-60=2²²-64．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及分組求和法、構(gòu)造法的應(yīng)用，屬于中檔題．