Question

16．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其圖象經(jīng)過點(diǎn)M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$），且與x軸兩個(gè)相鄰的交點(diǎn)的距離為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a=13，f（A）=$\frac{3}{5}$，f（B）=$\frac{5}{13}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 ①由圖象與x軸兩個(gè)相鄰的交點(diǎn)的距離為π確定周期，然后以點(diǎn)M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）代人函數(shù)解析式求φ，
②由f（A）=$\frac{3}{5}$，f（B）=$\frac{5}{13}$，求出sinA=$\frac{4}{5}$，sinB=$\frac{12}{13}$，再求sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{56}{65}$，根據(jù)正弦定理求邊b，然后應(yīng)用面積公式即可．

解答 解：①依題意T=2π，∴ω=1，
∴函數(shù)f（x）=sin（x+φ）
∵f（$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，且0＜φ＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$+φ＜$\frac{4}{3}$π，$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{5}{6}$π，
∴φ=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx
②∵f（A）=cosA=$\frac{3}{5}$，f（B）=cosB=$\frac{5}{13}$，∴A，B∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinA=$\frac{4}{5}$，sinB=$\frac{12}{13}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{56}{65}$，
∵在三角形ABC中，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，∴b=15，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×13×15×$\frac{56}{65}$=84

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查怎樣求函數(shù)解析式，靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理及面積公式．