Question

4．求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值
（1）f（x）=6x²+x+2，x∈[-1，1]，
（2）f（x）=x³-12x，x∈[-3，3]；
（3）f（x）=6-12x+x³，x∈[-$\frac{1}{3}$，1]
（4）f（x）=48x-x³，x∈[-3，5]．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的性質(zhì)可得到函數(shù)的最值；
（2）求導并化簡f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），從而得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值；
（3）求導并化簡f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），從而得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值；
（4）求導并化簡f′（x）=-3x²+48=-3（x+4）（x-4），從而得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．

解答 解：（1）∵f（x）=6x²+x+2圖象的對稱軸為x=-$\frac{1}{12}$，
∴f_min（x）=f（-$\frac{1}{12}$）=6（-$\frac{1}{12}$）²-$\frac{1}{12}$+2=$\frac{47}{24}$，
f_max（x）=f（1）=6+1+2=9；
（2）∵f（x）=x³-12x，
∴f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
∴f（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)，在[-2，2]上是減函數(shù)，在[2，3]上是增函數(shù)，
且f（-3）=-27+36=9，f（-2）=-8+24=16，f（2）=8-24=-16，f（3）=-9，
∴f_min（x）=-16，f_max（x）=16；
（3）∵f（x）=6-12x+x³，
∴f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
∴f（x）在[-$\frac{1}{3}$，1]上是減函數(shù)，
∴f_min（1）=6-12+1=-5，f_max（-$\frac{1}{3}$）=6+4-$\frac{1}{27}$=$\frac{269}{27}$；
（4）∵f（x）=48x-x³，
∴f′（x）=-3x²+48=-3（x+4）（x-4），
∴f（x）在[-3，4]上是減函數(shù)，在[4，5]上是增函數(shù)，
且f（-3）=-144+27=-117，f（4）=192-64=128，f（5）=240-125=115，
∴f_min（x）=-117，f_max（x）=128．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值的求法及導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．