Question

13．如圖，在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，動(dòng)點(diǎn)P，Q，R分別在邊AB、BC、CA上，且滿足PQ=QR=PR，則線段PQ的最小值是$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠BPQ=α，PQ=x，用x，α表示出AP，∠ARP，在△APR中，使用正弦定理得出x關(guān)于α的函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出x的最小值．

解答 解：∵PQ=QR=PR，∴△PQR是等邊三角形，
∴∠PQR=∠PRQ=∠RPQ=60°，
∵矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，
∴∠BAC=30°，∠BCA=60°，
設(shè)∠BPQ=α（0＜α＜90°），PQ=x，則PR=x，PB=xcosα，∠APR=120°-α，
∴∠ARP=30°+α，AP=2$\sqrt{3}$-xcosα．
在△APR中，由正弦定理得$\frac{PR}{sinA}=\frac{AP}{sin∠ARP}$，即$\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{2\sqrt{3}-xcosα}{\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα}$，
解得x=$\frac{2\sqrt{3}}{2cosα+\sqrt{3}sinα}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}sin（α+φ）}$．
∴當(dāng)sin（α+φ）=1時(shí)，x取得最小值$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．