Question

10．若直線x+ay-1=0與2x-y+5=0垂直，則二項(xiàng)式（ax²-$\frac{1}{x}$）⁵的展開式中x⁴的系數(shù)為80．

Answer 1

分析 直線x+ay-1=0與2x-y+5=0垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得a．則二項(xiàng)式（ax²-$\frac{1}{x}$）⁵化為$（2{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{5}$，可得T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（2x²）^r$（-\frac{1}{x}）^{5-r}$=（-1）^5-r2^r${∁}_{5}^{r}$x^3r-5．
令3r-5=4，解得r即可得出．

解答 解：∵直線x+ay-1=0與2x-y+5=0垂直，
∴-$\frac{1}{a}$×2=-1，
解得a=2．
則二項(xiàng)式（ax²-$\frac{1}{x}$）⁵化為$（2{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{5}$，
∴T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（2x²）^r$（-\frac{1}{x}）^{5-r}$=（-1）^5-r2^r${∁}_{5}^{r}$x^3r-5．
令3r-5=4，解得r=3．
∴T₄=8${∁}_{5}^{3}$•x⁴=80x⁴．
∴展開式中x⁴的系數(shù)為80．
故答案為：80．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．