Question

1．如圖，在A，B兩城周邊有兩條直線互相垂直的高速公路l₁，l₂，在點(diǎn)O外交匯，A城到高速公路l₁，l₂的距離分別是30km，20km，B城到高速公路l₁，l₂的距離分別是60km，80km，為了方便居民出行，現(xiàn)要在高速公路l₁或l₂上建造一個(gè)高速公路出入口P（不能建造在點(diǎn)O處），經(jīng)調(diào)查，若出入口O建造在高速公路l₁上，A，B兩城居民的“不滿意度”M₁=$\frac{1}{2}$（PA+PB），若出入口P建造在高速公路l₂上，A，B兩城居民的“不滿意度”M₂=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{A}^{2}+P{B}^{2}}$．
（1）若出入口P建造在高速公路l₁上，求A，B兩城居民，“不滿意度”的最小值；
（2）試確定出入口P建在高速公路何處，才能使A，B兩城居民的，“不滿意度”最�。�

Answer 1

分析 （1）以l₁，l₂所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由此能求出當(dāng)A₁，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P（40，0）時(shí)，M₁取最小值，并能求出這個(gè)最小值．
（2）若點(diǎn)P在l₂上時(shí)，設(shè)P（0，a），當(dāng)a=45時(shí)，M₂取最小值，從而求出出入口P應(yīng)該建在高速公路l₂上，且到點(diǎn)O距離為45km，能夠使得A，B城居民的“平均不滿意度”最�。�

解答 解：（1）以l₁，l₂所在直線為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
則A（20，30），B（80，60）…（2分）
若點(diǎn)P在l₁上時(shí)，則點(diǎn)A關(guān)于則x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A₁（20，-30），
故${M_1}=\frac{k}{2}（PA+PB）=\frac{k}{2}（P{A_1}+PB）≥\frac{k}{2}{A_1}B=\frac{k}{2}\sqrt{11700}$
當(dāng)A₁，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P（40，0）時(shí)，M₁的最小值為$\frac{k}{2}\sqrt{11700}$．…（8分）
（2）若點(diǎn)P在l₂上時(shí)，設(shè)P（0，a），${M_2}=\frac{k}{2}\sqrt{P{A^2}+P{B^2}}=\frac{k}{2}\sqrt{2{{（a-45）}^2}+7250}$…（12分）
當(dāng)a=45時(shí)，M₂的最小值為$\frac{k}{2}\sqrt{7250}$…（14分）
∵$\frac{k}{2}\sqrt{11700}＞$$\frac{k}{2}\sqrt{7250}$
∴出入口P應(yīng)該建在高速公路l₂上，且到點(diǎn)O距離為45km，能夠使得A，B城居民的“平均不滿意度”最�。�
答：出入口P建在高速公路l₂上，且到點(diǎn)O距離為45km，A，B城居民的“平均不滿意度”最�。�…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查A，B兩城居民，“不滿意度”的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線性質(zhì)的合理運(yùn)用．