Question

4．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上底面A₁B₁C₁D₁和側(cè)面CDD₁C₁的中心．
（1）求cos∠EAF；
（2）求直線AE與平面CDD₁C₁所成角的正弦值；
（3）求直線AF與平面BDD₁B₁所成角的大小．

Answer 1

分析 設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長(zhǎng)為2，以A為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系；
（1）cos∠EAF=cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$＞，代入可得答案；
（2）平面CDD₁C₁的法向量$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），設(shè)直線AE與平面CDD₁C₁所成角為θ，則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AD}|}{\left|\overrightarrow{AE}\right|•\left|\overrightarrow{AD}\right|}$，代入可得答案；
3）平面BDD₁B₁的法向量$\overrightarrow{AC}$=（2，2.0），設(shè)直線AF與平面BDD₁B₁所成角為α，則sinα=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AC}|}{\left|\overrightarrow{AF}\right|•\left|\overrightarrow{AC}\right|}$，代入可得答案．

解答 解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長(zhǎng)為2，建立如下圖所示的空間坐標(biāo)系，

則$\overrightarrow{AE}$=（1，1，2），$\overrightarrow{AF}$=（1，2，1），
（1）cos∠EAF=cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$＞=$\frac{1+2+2}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{5}{6}$，
（2）平面CDD₁C₁的法向量$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），
設(shè)直線AE與平面CDD₁C₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AD}|}{\left|\overrightarrow{AE}\right|•\left|\overrightarrow{AD}\right|}$=$\frac{0+2+0}{\sqrt{6}•2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（3）平面BDD₁B₁的法向量$\overrightarrow{AC}$=（2，2.0），
設(shè)直線AF與平面BDD₁B₁所成角為α，
則sinα=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AC}|}{\left|\overrightarrow{AF}\right|•\left|\overrightarrow{AC}\right|}$=$\frac{2+4+0}{\sqrt{6}•2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故α=60°，
即直線AF與平面BDD₁B₁所成角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的夾角，直線與平面的夾角，空間向量求夾角，難度中檔．