Question

10．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D'′中，O是B′D′的中點．
（1）M、N分別是棱AB、B′C′的中點，求證：MN∥面AA′O．
（2）在線段AO上是否存在一點E，使得面A′EB′⊥面AOB′，若存在，請確定E點位置．；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接NO，證明MN∥AO，然后證明MN∥面AA′O．
（2）存在，點E的位置在于A′E⊥AO，交AO于點E，證明B′D′⊥A′O，B′D′⊥A′E，推出A′E⊥面AOB′，然后證明面A′EB′⊥面AOB′．

解答 解：（1）證明：連接NO，∵AM∥ON且AM=ON，
∴四邊形AMNO是平行四邊形，
∴MN∥AO，…（2分）
又∵M(jìn)N?面AOA′，AO?面AOA′，
∴MN∥面AA′O．…（4分）
備注：其他方法亦可，酌情給分！
（2）存在，點E的位置在于A′E⊥AO，交AO于點E．…（6分）
證明如下：
∵O是B′D′的中點，且四邊形A′B′C′D′是正方形，
∴B′D′⊥A′O，…（7分）
又∵正方體ABCD-A′B′C′D′，
∴AA′⊥面A′B′C′D′∴AA′⊥B′D′
∵AA′∩A′O=A′…（9分）
∴B′D′⊥面AA′O，
∴B′D′⊥A′E，…（11分）
∵A′E⊥AO，且AO∩OB′=O，
∴A′E⊥面AOB′，…（13分）
∵A′E?面A′EB′
∴面A′EB′⊥面AOB′．…（14分）

點評 本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．