Question

7．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{S_{△ABC}}$．
（1）求角A的大��；
（2）若a=4，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運算和三角形面積公式可得$bccosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}bcsinA$，從而解得tanA，即可求得A的值．
（2）由正弦定理可得$2R=\frac{4}{sinA}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}，B=\frac{2π}{3}-C$，周長：$a+b+c=4+8sin（C+\frac{π}{6}）$，結合范圍$C∈（0，\frac{2π}{3}）$，即可得解．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{S_{△ABC}}$，
易得$bccosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}bcsinA$，
即$tanA=\sqrt{3}，A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）因為$A=\frac{π}{3}$，a=4，
所以$2R=\frac{4}{sinA}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}，B=\frac{2π}{3}-C$，
周長=$a+b+c=4+b+c=4+\frac{{8\sqrt{3}}}{3}（sinB+sinC）$，…（10分）
化簡得$a+b+c=4+8sin（C+\frac{π}{6}）$，
因為$C∈（0，\frac{2π}{3}）$，
所以a+b+c∈（8，12]．…（14分）

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算和三角形面積公式，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．