Question

20．函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$，則函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{8}，\frac{π}{3}}]$上的最小值為1．

Answer 1

分析 降冪后利用輔助角公式化積，再由x的范圍求出相位的范圍求得函數(shù)的最小值．

解答 解：$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
∵x∈$[{\frac{π}{8}，\frac{π}{3}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈$[$\frac{5π}{12}，\frac{5π}{6}$]，
∴當2x$+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，即x=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{8}，\frac{π}{3}}]$上有最小值為1．
故答案為：1．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，訓練了利用輔助角公式化積，是中檔題．