Question

11．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，過原點的直線與C相交于A，B兩點，連接AF，BF若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$．則C的離心率e=$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 先取橢圓的右焦點，再用余弦定理解得BF的長，從而確定三角形ABF為直角三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和離心率的定義求解．

解答 解：設(shè)橢圓的右焦點為F'，連接AF'、BF'，如右圖所示，
∵AB與FF'互相平分，∴四邊形AFBF'為平行四邊形，
則|AF|=|BF'|=6，
在△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，
由余弦定理得|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB|•|BF|•cos∠ABF，
即，6²=10²+|BF|²-2×10×|BF|×$\frac{4}{5}$，
解得，|BF|=8，
根據(jù)橢圓定義，2a=|BF|+|BF'|=14，即a=7，
∵△ABF中，|AF|²+|BF|²=100=|AB|²，∴∠AFB=90°，
由此可知，斜邊中線OF的長為斜邊AB的一半，
即|OF|=$\frac{1}{2}$|AB|=5，即c=5，
因此，橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$，
故答案為：$\frac{5}{7}$．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，涉及橢圓的定義，對稱性，離心率，以及余弦定理和勾股定理的運用，屬于中檔題．