Question

8．設(shè)$f（x）={e^{\frac{1}{2}x}}$（x-1）-ax+2a恰有小于1兩個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{1}{2}）$
• B． $（0，\frac{2}{{3\sqrt{e}}}）$
• C． $（-∞，\frac{1}{2}]$
• D． $（-∞，\frac{2}{{3\sqrt{e}}}]$

Answer 1

分析 令f（x）=0，使用分離參數(shù)法得a=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{x-2}$，則令g（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{x-2}$，求出g（x）在（-∞，1）上的值域．則根據(jù)a=g（x）有兩解得出a的范圍．

解答 解：令f（x）=0得e${\;}^{\frac{1}{2}x}$（x-1）=ax-2a，∴a=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{x-2}$．令g（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{x-2}$．則g′（x）=$\frac{（\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）+{e}^{\frac{1}{2}x}）（x-2）-{e}^{\frac{1}{2}x}（x-1）}{（x-2）^{2}}$=e${\;}^{\frac{1}{2}x}$$•\frac{x}{2（x-2）^{2}}$•（x-3）．
令g′（x）=0，得x=0或x=3．
當(dāng)x＜0時，g′（x）＞0，當(dāng)0＜x≤1時，g′（x）＜0，∴g（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，1]上是減函數(shù)，
∵$\underset{lim}{n→-∞}g（x）=0$，g（0）=$\frac{1}{2}$，g（1）=0，∴g（x）在（-∞，1）上的值域為（0，$\frac{1}{2}$]．
作出g（x）在（-∞，1）上函數(shù)的大致圖象如圖：
∵$f（x）={e^{\frac{1}{2}x}}$（x-1）-ax+2a恰有小于1兩個零點，∴a=g（x）在（-∞，1）上有兩解．
∴0＜a$＜\frac{1}{2}$．
故選A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，零點的個數(shù)判斷，借助函數(shù)圖象可比較方便的得出結(jié)論．