A. | $(0,\frac{1}{2})$ | B. | $(0,\frac{2}{{3\sqrt{e}}})$ | C. | $(-∞,\frac{1}{2}]$ | D. | $(-∞,\frac{2}{{3\sqrt{e}}}]$ |
分析 令f(x)=0,使用分離參數(shù)法得a=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}(x-1)}{x-2}$,則令g(x)=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}(x-1)}{x-2}$,求出g(x)在(-∞,1)上的值域.則根據(jù)a=g(x)有兩解得出a的范圍.
解答 解:令f(x)=0得e${\;}^{\frac{1}{2}x}$(x-1)=ax-2a,∴a=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}(x-1)}{x-2}$.令g(x)=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}(x-1)}{x-2}$.則g′(x)=$\frac{(\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}(x-1)+{e}^{\frac{1}{2}x})(x-2)-{e}^{\frac{1}{2}x}(x-1)}{(x-2)^{2}}$=e${\;}^{\frac{1}{2}x}$$•\frac{x}{2(x-2)^{2}}$•(x-3).
令g′(x)=0,得x=0或x=3.
當(dāng)x<0時(shí),g′(x)>0,當(dāng)0<x≤1時(shí),g′(x)<0,∴g(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),在(0,1]上是減函數(shù),
∵$\underset{lim}{n→-∞}g(x)=0$,g(0)=$\frac{1}{2}$,g(1)=0,∴g(x)在(-∞,1)上的值域?yàn)椋?,$\frac{1}{2}$].
作出g(x)在(-∞,1)上函數(shù)的大致圖象如圖:
∵$f(x)={e^{\frac{1}{2}x}}$(x-1)-ax+2a恰有小于1兩個(gè)零點(diǎn),∴a=g(x)在(-∞,1)上有兩解.
∴0<a$<\frac{1}{2}$.
故選A.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域,零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷,借助函數(shù)圖象可比較方便的得出結(jié)論.
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A. | 12 | B. | 24 | C. | 36 | D. | 48 |
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