Question

18．己知當(dāng)且僅當(dāng)a∈（m，n）時(shí)，$\frac{2-ax+{x}^{2}}{1-x+{x}^{2}}$＜3對(duì)x∈R恒成立，則m+n=6．

Answer 1

分析 由 x²-x+1＞0可得2x²+（a-3）x+1＞0恒成立，故有△=（a-3）²-8＜0，求得a的范圍．再結(jié)合已知條件，求得m、n的值，可得m+n的值．

解答 解：∵x²-x+1=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，∴$\frac{2-ax+{x}^{2}}{1-x+{x}^{2}}$＜3對(duì)x∈R恒成立，
即2x²+（a-3）x+1＞0恒成立，∴△=（a-3）²-8＜0，
求得3-2$\sqrt{2}$＜a＜3+2$\sqrt{2}$，即a∈（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）．
再根據(jù)a∈（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$），可得m=3-2$\sqrt{2}$，n=3+2$\sqrt{2}$，∴m+n=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分式不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．