Question

8．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b²+4c²=8，sinB+2sinC=6bsinAsinC，則△ABC的面積取最大值時有a²=$\frac{15-8\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)三角形面積為S，由正弦定理可得b+2c=6absinC=12S，解得S=$\frac{\sqrt{8+4bc}}{12}$，由b²+4c²=8≥4bc，解得：bc≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時等號成立，可得S≤$\frac{1}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時等號成立，解得b，c，利用三角形面積公式可求sinA的值，求得cosA，利用余弦定理即可求解．

解答 解：設(shè)三角形面積為S，∵sinB+2sinC=6bsinAsinC，且由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴b+2c=6absinC=12S，解得：S=$\frac{b+2c}{12}$=$\frac{\sqrt{（b+2c）^{2}}}{12}$=$\frac{\sqrt{^{2}+4{c}^{2}+4bc}}{12}$=$\frac{\sqrt{8+4bc}}{12}$，
∵b²+4c²=8≥4bc，解得：bc≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時等號成立，
∴S≤$\frac{1}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時等號成立，
∴當(dāng)b=2c時，b²+4c²=8，解得：b=2，c=1，S=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×1×$sinA，解得：sinA=$\frac{1}{3}$，
∴由三角形為銳角三角形，解得：cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴此時，a²=b²+c²-2bccosA=4+1-2×2×1×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{15-8\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{15-8\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形面積公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．