Question

19．某樓盤(pán)開(kāi)展套餐促銷(xiāo)優(yōu)惠活動(dòng)，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐一的客戶(hù)可獲得優(yōu)惠2萬(wàn)元，選擇套餐二的客戶(hù)可獲得優(yōu)惠5萬(wàn)元，選擇套餐三的客戶(hù)可獲得優(yōu)惠3萬(wàn)元．根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪出參與活動(dòng)的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．
（1）求某兩客戶(hù)選擇同一套餐的概率；
（2）若用隨機(jī)變量ξ表示某兩客戶(hù)所獲優(yōu)惠金額的總和，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記“某兩客戶(hù)選擇同一套餐”為事件A，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出某兩客戶(hù)選擇同一套餐的概率P（A）．
（2）由題意知某兩客戶(hù)可獲得優(yōu)惠金額ξ的可能取值為4、5、6、7、8、10．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）記“某兩客戶(hù)選擇同一套餐”為事件A，
則P（A）=$\frac{1}{8}×\frac{1}{8}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{3}{8}×\frac{3}{8}$=$\frac{13}{32}$．…（3分）
（2）由題意知某兩客戶(hù)可獲得優(yōu)惠金額ξ的可能取值為4、5、6、7、8、10．…（4分）
P（ξ=4）=$\frac{1}{8}×\frac{1}{8}$=$\frac{1}{64}$，
P（ξ=5）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{8}×\frac{3}{8}=\frac{3}{32}$，
P（ξ=6）=$\frac{3}{8}×\frac{3}{8}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=7）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{8}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=8）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{3}{8}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=10）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$．…（9分）
所以ξ的分布列為

ξ	4	5	6	7	8	10
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$

…（10分）
所以Eξ=$4×\frac{1}{64}+5×\frac{6}{64}+6×\frac{9}{64}+7×\frac{8}{64}+8×\frac{24}{64}$+$10×\frac{16}{64}$=$\frac{31}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．