Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的公差和等比數(shù)列{b_n}的公比都是d（d≠0），且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀
（1）求a₁和d的值；
（2）b₁₆是不是數(shù)列{a_n}中的項？如果是，它是第幾項？如果不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式求解．
（2）由題意分別求出b₁₆和a_n，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差和等比數(shù)列{b_n}的公比都是d（d≠0），且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀，
∴a₄=a₁+3d，b₄=b₁d³，∴a₁+3d=a₁d³，∴a₁=$\frac{3d}{9knv2cu^{3}-1}$，
a₁₀=a₁+9d，b₁₀=b₁d⁹，a₁+9d=a₁d⁹，
a₁=$\frac{9d}{or2cbl7^{9}-1}$，$\frac{3d}{v4xsr2u^{3}-1}$=$\frac{9d}{2mp7ogb^{9}-1}$，
d⁹-1=3d³-3，d⁹-3d³+2=0，（d⁹-1）-3（d³-1）=0，
（d³-1）（d⁶+d³+1）-3（d³-1）=0，
∵d≠1，∴d³-1≠0，∴（d⁶+d³+1）-3=0，d⁶+d³-2=0，
（d³+2）（d³-1）=0，d³-1≠0，d³=-2，
∴d=-$\root{3}{2}$，a₁=$\frac{3d}{uj2vyia^{3}-1}$=$\root{3}{2}$，
（2）b₁₆=$_{1}{q}^{15}$=a₁（q³）⁵=-32•$\root{3}{2}$，
a_n=a₁+d（n-1）=2•$\root{3}{2}$=-n•$\root{3}{2}$，
若b_n=-32$•\root{3}{2}$=a_n=（2-n）$•\root{3}{2}$，
解得n=34
所以b₁₆是{a_n}的第34項．

點評 本題考查數(shù)列的首項和公差、公比的求法，考查等比數(shù)列的第16項是否是等差數(shù)列中的項的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．