Question

11．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c，證明：
（1）$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{^{3}}$+$\frac{1}{{c}^{3}}$+abc≥2$\sqrt{3}$；
（2）$\frac{π}{A}$+$\frac{π}{B}$+$\frac{π}{C}$≥9．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c＞0，分別運用三元均值不等式和二元均值不等式，即可得證；
（2）由三角形的內角和定理可得A+B+C=π，再由三元均值不等式即可得證．

解答 證明：（1）由a，b，c＞0，可得
$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{^{3}}$+$\frac{1}{{c}^{3}}$+abc≥3$\root{3}{\frac{1}{（abc）^{3}}}$+abc
=$\frac{3}{abc}$+abc≥2$\sqrt{\frac{3}{abc}•abc}$=2$\sqrt{3}$
（當且僅當a=b=c$\root{6}{3}$時，等號成立）；
（2）$\frac{π}{A}$+$\frac{π}{B}$+$\frac{π}{C}$=π（$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$）
=（A+B+C）（$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$）≥3$\root{3}{ABC}$•3$\root{3}{\frac{1}{ABC}}$=9
（當且僅當A=B=C=$\frac{π}{3}$時，等號成立）．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用基本不等式以及三角形的內角和定理，考查推理能力，屬于中檔題．