Question

6．已知點(diǎn)A（1，2），B（-4，4），若點(diǎn)C在圓（x-3）²+（y+6）²=9上運(yùn)動(dòng)，則△ABC的重心G的軌跡方程為x²+y²=$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 設(shè)G（x，y），欲求△ABC的重心G的軌跡方程，即求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，利用重心坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后根據(jù)頂點(diǎn)C在圓（x-3）²+（y+6）²=9運(yùn)動(dòng)，得出關(guān)于x，y的方程即可．

解答 解：記G（x，y），C（x₀，y₀），
由重心公式得：x=$\frac{{x}_{0}-3}{3}$，y=$\frac{{y}_{0}+6}{3}$，
于是有：x₀=3x+3，y₀=3y-6，
而C點(diǎn)在圓（x-3）²+（y+6）²=9上運(yùn)動(dòng)，
∴（3x+3-3）²+（3y-6+6）²=4，化簡(jiǎn)得：x²+y²=$\frac{4}{9}$．
故△ABC的重心G的軌跡方程是：x²+y²=$\frac{4}{9}$．
故答案為：x²+y²=$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 充分利用圓的幾何性質(zhì)挖掘出動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件是本題的關(guān)鍵，本題直接將動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何等量關(guān)系“翻譯”成動(dòng)點(diǎn)x，y，得方程，即為所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．