5.在高為H、底面半徑為R的圓錐內(nèi)作一內(nèi)接圓柱體.則圓柱體的半徑r為多大時:
(1)圓柱體的體積最大?
(2)圓柱體的表面積最大?

分析 設圓柱底面半徑為r,根據(jù)三角形相似得出圓柱的高h,代入體積和表面積公式得到關于r的函數(shù),利用導數(shù)或基本不等式求出最大值.

解答 解:當圓柱的底面半徑為r時,設圓柱體的高為h,
則$\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$,∴h=$\frac{H(R-r)}{R}$,
(1)圓柱的體積V(r)=πr2h=$\frac{πH(R-r){r}^{2}}{R}$=$\frac{πH(2R-2r)•r•r}{2R}$≤$\frac{πH}{2R}$×($\frac{2R}{3}$)3=$\frac{4πH{R}^{2}}{27}$.當且僅當r=2R-2r即r=$\frac{2R}{3}$時取等號.
(2)圓柱體的表面積S(r)=2πr2+2πrh=2πr2+2πr$\frac{H(R-r)}{R}$=2π(1-$\frac{H}{R}$)r2+2πHr,r∈(0,R).
∴S′(r)=4π$\frac{R-H}{R}$r+2πH,
①當R≥H時,S′(r)>0,故S(r)在(0,R)上是增函數(shù),∴S(r)沒有最大值.
②當R<H時,令S′(r)=0,得r=$\frac{HR}{2(H-R)}$,
當0<r<$\frac{HR}{2(H-R)}$時,S′(r)<0,當$\frac{HR}{2(H-R)}$<r<R時,S′(r)>0.
∴當r=$\frac{HR}{2(H-R)}$時,S(r)取得最大值S($\frac{HR}{2(H-R)}$)=$\frac{{H}^{2}Rπ}{2(H-R)}$.

點評 本題考查了圓柱和圓錐的結構特征,體積和表面積計算,導數(shù)與函數(shù)的最值,屬于中檔題.

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