Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=（ax²-2x）•e^x，其中a＞0，若f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減知，f′（x）≤0對于x∈[-1，1]恒成立，即ax²+（2a-2）x-2≤0對于x∈[-1，1]恒成立．再結(jié)合著圖象可知，$\left\{\begin{array}{l}{a×（-1）^{2}+（2a-2）×（-1）-2≤0}\\{a×{1}^{2}+（2a-2）×1-2≤0}\end{array}\right.$即可．

解答 f′（x）=[ax²+（2a-2）x-2]e^x，
∵f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤0對于x∈[-1，1]恒成立，
即ax²+（2a-2）x-2≤0對于x∈[-1，1]恒成立，又a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×（-1）^{2}+（2a-2）×（-1）-2≤0}\\{a×{1}^{2}+（2a-2）×1-2≤0}\end{array}\right.$，
解得，$0≤a≤\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，是一種常見題型，即“已知單調(diào)性求參數(shù)問題”．在解題過程中注意到數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，可以簡化計(jì)算．