Question

14．已知函數(shù)f（x）定義在正整數(shù)集上，且對(duì)任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（8）=16，則f（2015）=4030．

Answer 1

分析 由f（x+2）=2f（x+1）-f（x），得到函數(shù)f（x）構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)行求解即可．

解答 解：對(duì)于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），
∴f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），
則此函數(shù)的值構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)f（1）=2，
∵f（8）=16，∴公差為d=$\frac{f（8）-f（1）}{8-1}=\frac{16-2}{8-1}=\frac{14}{7}$=2，
則f（2015）=2+2014×2=4030．
故答案為：4030

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算根據(jù)條件關(guān)系判斷函數(shù)f（x）構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．