Question

2．袋中共有8個球，其中有3個白球，5個黑球，這些球除顏色外完全相同．從袋中隨機取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補一個白球放入袋中．重復(fù)上述過程n次后，袋中白球的個數(shù)記為X_n．
（1）求隨機變量X₂的概率分布及數(shù)學(xué)期望E（X₂）；
（2）求隨機變量X_n的數(shù)學(xué)期望E（X_n）關(guān)于n的表達式．

Answer 1

分析 （1）由題意得到X₂的所有取值，然后利用古典概型概率計算公式求出概率，則可列出頻率分布表，代入期望公式求期望；
（2）設(shè)P（X_n=3+k）=p_k，k=0，1，2，3，4，5．則p₀+p₁+p₂+p₃+p₄+p₅=1，E（X_n）=3p₀+4p₁+5p₂+6p₃+7p₄+8p₅．再把P（X_n+1=3）、P（X_n+1=4）、…、
P（X_n+1=8）用p₀、p₁、p₂、p₃、p₄、p₅表示，得到E（X_n+1）-8=$\frac{7}{8}$（E（X_n）-8），從而說明數(shù)列{E（X_n）-8}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：（1）由題意可知X₂=3，4，5．
當(dāng)X₂=3時，即二次摸球均摸到白球，其概率是P（X₂=3）=$\frac{C_3^1}{C_8^1}×\frac{C_3^1}{C_8^1}$=$\frac{9}{64}$；
當(dāng)X₂=4時，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P（X₂=4）=$\frac{C_3^1C_5^1}{C_8^1C_8^1}+\frac{C_5^1C_4^1}{C_8^1C_8^1}$=$\frac{35}{64}$；
當(dāng)X₂=5時，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P（X₂=5）=$\frac{C_5^1C_4^1}{C_8^1C_8^1}$=$\frac{5}{16}$．
所以隨機變量X₂的概率分布如下表：

X2	3	4	5
P	$\frac{9}{64}$	$\frac{35}{64}$	$\frac{5}{16}$

數(shù)學(xué)期望E（X₂）=$3×\frac{9}{64}+4×\frac{35}{64}+5×\frac{5}{16}=\frac{267}{64}$；
（2）設(shè)P（X_n=3+k）=p_k，k=0，1，2，3，4，5．
則p₀+p₁+p₂+p₃+p₄+p₅=1，E（X_n）=3p₀+4p₁+5p₂+6p₃+7p₄+8p₅．
P（X_n+1=3）=$\frac{3}{8}{p_0}$，P（X_n+1=4）=$\frac{5}{8}$p₀+$\frac{4}{8}$p₁，P（X_n+1=5）=$\frac{4}{8}$p₁+$\frac{5}{8}$p₂，P（X_n+1=6）=$\frac{3}{8}$p₂+$\frac{6}{8}$p₃，
P（X_n+1=7）=$\frac{2}{8}$p₃+$\frac{7}{8}$p₄，P（X_n+1=8）=$\frac{1}{8}$p₄+$\frac{8}{8}$p₅，
∴E（X_n+1）=3×$\frac{3}{8}$p₀+4×（$\frac{5}{8}$p₀+$\frac{4}{8}$p₁）+5×（$\frac{4}{8}$p₁+$\frac{5}{8}$p₂）+6×（$\frac{3}{8}$p₂+$\frac{6}{8}$p₃）+7×（$\frac{2}{8}$p₃+$\frac{7}{8}$p₄）+8×（$\frac{1}{8}$p₄+$\frac{8}{8}$p₅）
=$\frac{29}{8}$p₀+$\frac{36}{8}$p₁+$\frac{43}{8}$p₂+$\frac{50}{8}$p₃+$\frac{57}{8}$p₄+$\frac{64}{8}$p₅=$\frac{7}{8}$（3p₀+4p₁+5p₂+6p₃+7p₄+8p₅）+p₀+p₁+p₂+p₃+p₄+p₅=$\frac{7}{8}$E（X_n）+1．
由此可知，E（X_n+1）-8=$\frac{7}{8}$（E（X_n）-8）．
又E（X₁）-8=$-\frac{35}{8}$，
∴E（X_n）=$8-\frac{35}{8}{（\frac{7}{8}）^{n-1}}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的期望與方差，考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，考查了等比關(guān)系的確定及等比數(shù)列通項公式的求法，尋找E（X_n+1）-8與（E（X_n）-8）的關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵，屬有一定難度題目．