Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求滿足a_n≥240的最小正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，可得b_n+1=2b_n，結(jié)合a₁=2，可得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
（2）由（1）得：b_n=2ⁿ，結(jié)合b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令t=2ⁿ，則a_n≥240可化為：t²-t≥240，先解二次不等式，再解指數(shù)不等式可得答案．

解答 證明：（1）∵a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，
∴b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=$\frac{{4a}_{n}+{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}}+1$=$\frac{{4a}_{n}}{{2}^{n+1}}+2$=2（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1）=2b_n，
又∵a₁=2，
∴b₁=2，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
（2）由（1）得：b_n=2ⁿ，
即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1=2ⁿ，
∴a_n=4ⁿ-2ⁿ，
（3）令t=2ⁿ，則a_n≥240可化為：
t²-t≥240，
解得：t≥16，
即2ⁿ≥16，n≥4，
故滿足a_n≥240的最小正整數(shù)n=4

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的證明，解指數(shù)不等式，二次不等式，是數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．