Question

2．已知雙曲線C中心在原點，焦點在x軸上，點P（-2，0）與其漸近線的距離為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，過點P作斜率為$\frac{1}{6}$的直線交雙曲線于A、B兩點，點A、P、B在x軸上的射影分別是A₁、P₁、B₁，且|P₁O|是|P₁A₁|與|P₁B₁|的等比中項，求雙曲線的離心率．

Answer 1

分析 設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），求得漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，運用點到直線的距離公式，可得a=3b，再由雙曲線方程和直線PA方程聯(lián)立，消去y，得到x的方程，運用韋達定理，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得4=（x₁+2）（x₂+2），代入計算即可得到a，b，進而求得c，再由離心率公式計算即可得到．

解答 解：設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由點P（-2，0）與其漸近線的距離為d=$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
化簡可得a=3b，
即有雙曲線的方程為x²-9y²=9b²，
過點P作斜率為$\frac{1}{6}$的直線為y=$\frac{1}{6}$（x+2），
代入雙曲線方程可得$\frac{3}{4}$x²-x-9b²-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=-12b²-$\frac{4}{3}$，
由|P₁O|是|P₁A₁|與|P₁B₁|的等比中項，
則有|P₁O|²=|P₁A₁|•|P₁B₁|，
即有4=（x₁+2）（x₂+2），
即x₁x₂+2（x₁+x₂）=0，
即為-12b²-$\frac{4}{3}$+$\frac{8}{3}$=0，
解得b=$\frac{1}{3}$，a=1．
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
即有雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程和離心率的求法，同時考查直線和雙曲線方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．