Question

10．已知函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5的圖象在x=1處的切線方程為y=-12x，且f（1）=-12，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和單調(diào)區(qū)間．
（2）求函數(shù)f（x）在[-3，1]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，建立等式關(guān)系，再根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)圖象建立等式關(guān)系，解方程組即可求出a和b，從而得到函數(shù)f（x）的解析式；令f′（x）＞0和令f′（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）先求出f′（x）=0的值，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值．

解答 解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b，f′（1）=12+2a+b=-12．①
又x=1，y=-12在f（x）的圖象上，
∴4+a+b+5=-12．②
由①②得a=-3，b=-18，
∴f（x）=4x³-3x²-18x+5．
f′（x）=12x²-6x-18，
令f′（x）＜0，得：12x²-6x-18＜0，
可得-1＜x＜$\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，$\frac{3}{2}$），
令f′（x）＞0，得：12x²-6x-18＞0，
可得x＜-1或x＞$\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（$\frac{3}{2}$，+∞），
（2）f′（x）=12x²-6x-18=0，得x=-1，x=$\frac{3}{2}$，
f（-1）=16，f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{61}{4}$，f（-3）=-76，f（1）=-13．
∴f（x）的最大值為16，最小值為-76．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．