Question

20．如圖，△AOB為等腰直角三角形，OA=1，OC為斜邊AB的高，點P在射線OC上，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值為$-\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 如圖所示，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$，設(shè)$|\overrightarrow{OP}|$=t≥0．可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$=$（\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}）$•$\overrightarrow{OP}$=t²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=$（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$，
設(shè)$|\overrightarrow{OP}|$=t≥0．
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$=$（\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}）$•$\overrightarrow{OP}$
=${\overrightarrow{OP}}^{2}$-$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$
=t²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t
=$（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}$-$\frac{1}{8}$
$≥-\frac{1}{8}$．
當(dāng)t=$\frac{\sqrt{2}}{4}$時取等號，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值為-$\frac{1}{8}$．
故答案為：$-\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了向量的三角形法則、向量數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．