Question

16．實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥a}\\{y≥x}\\{x+y≤2}\end{array}\right.$（a＜1），且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則a的值是（　�。�

• A． $\frac{2}{11}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{11}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結合目標函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程關系，即可得到結論．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當直線y=-2x+z經(jīng)過點A時，直線的截距最大，
此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$
即A（1，1），此時z=2×1+1=3，
當直線y=-2x+z經(jīng)過點B時，直線的截距最小，
此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=a}\end{array}\right.$，
即B（a，a），此時z=2×a+a=3a，
∵目標函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，
∴3=4×3a，
即a=$\frac{1}{4}$．
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合結合目標函數(shù)的幾何意義求出最優(yōu)解是解決本題的關鍵．