Question

2．已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$（4-a_n），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2-${2}^{1-{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 依題意，可得$\frac{{（{a}_{n}-2）}^{2}}{2}$=2-a_n+1≥0，進(jìn)一步分析可得a_n＜2，再對(duì)$\frac{{（{a}_{n}-2）}^{2}}{2}$=2-a_n+1兩邊取對(duì)數(shù)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求得答案．

解答 解：因?yàn)閍_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$（4-a_n）=-$\frac{（{a}_{n}-2）^{2}}{2}$+2，
所以$\frac{{（{a}_{n}-2）}^{2}}{2}$=2-a_n+1≥0，即a_n+1≤2，
若a_n+1=2，即$\frac{1}{2}{a}_{n}$（4-a_n）=2，故a_n=2，這與a₁=$\frac{3}{2}$矛盾，
所以，a_n+1＜2，即a_n＜2，
所以對(duì)$\frac{{（{a}_{n}-2）}^{2}}{2}$=2-a_n+1兩邊取對(duì)數(shù)，得lg（2-a_n+1）=2lg（2-a_n）-lg2，
變形得：lg（2-a_n+1）-lg2=2[lg（2-a_n）-lg2]，
∴l(xiāng)g（2-a_n）-lg2=2^n-1•（-2lg2）=-2ⁿ•lg2=lg${2}^{-{2}^{n}}$，
解得：a_n=2-${2}^{1-{2}^{n}}$．
故答案為：a_n=2-${2}^{1-{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，分析得到a_n＜2，且對(duì)$\frac{{（{a}_{n}-2）}^{2}}{2}$=2-a_n+1兩邊取對(duì)數(shù)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與推理運(yùn)算能力，屬于難題．