Question

2．如圖，酒杯的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm，其容積為80cm³，水以20cm³/s的流量倒入杯中，當(dāng)水深為4cm時(shí)，水杯中水升高的瞬時(shí)變化率$\frac{8}{3}$cm/s．

Answer 1

分析 作出如圖的圖象，建立起水面高h(yuǎn)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出水面升高時(shí)的瞬時(shí)變化率即得到正確答答案，r²=$\frac{15{h}^{2}}{32π}$，20t=$\frac{5{h}^{3}}{32}$，h=$\root{3}{128t}$，t=$\frac{{h}^{3}}{128}$，
h^′=$\frac{1}{3}$×$128×（128t）^{-\frac{2}{3}}$，又當(dāng)h=4時(shí)，有t=$\frac{1}{2}$，求解h′=$\frac{1}{3}×128×$（128×$\frac{1}{2}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$=$\frac{8}{3}$．

解答 解：設(shè)上底面面積為s，h=8，V=80，
所以80=$\frac{1}{3}×s$×8，
即s=30，r_上底²=$\frac{30}{π}$
由題意，如圖，設(shè)t時(shí)刻水面高為h，水面圓半徑是r，
由圖知：$\frac{{r}^{2}}{\frac{30}{π}}$=$（\frac{h}{8}）^{2}$，r²=$\frac{15{h}^{2}}{32π}$，
此時(shí)水的體積為$\frac{1}{3}$×π×r²×h=$\frac{5{h}^{3}}{32}$，
又由題設(shè)條件知，此時(shí)的水量為20t
故有20t=$\frac{5{h}^{3}}{32}$，h=$\root{3}{128t}$，t=$\frac{{h}^{3}}{128}$，
h^′=$\frac{1}{3}$×$128×（128t）^{-\frac{2}{3}}$，
又當(dāng)h=4時(shí)，有t=$\frac{1}{2}$，
h′=$\frac{1}{3}×128×$（128×$\frac{1}{2}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$=$\frac{8}{3}$，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念對(duì)稱水杯中水升高的瞬時(shí)變化率$\frac{8}{3}$，
故答案為：$\frac{8}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查變化的快慢與變化率，正確解答本題關(guān)鍵是得出高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求出高度為4時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值，即得出此時(shí)的變化率，本題是一個(gè)應(yīng)用題求解此類題，正確理解題意很關(guān)鍵．由于所得的解析式復(fù)雜，解題時(shí)運(yùn)算量較大，要認(rèn)真解題避免因?yàn)檫\(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致解題失敗