Question

19．已知x，y∈R⁺，滿足$\frac{4}{x}$-$\frac{1}{y}$=1，不等式（x-y）a+2a²-3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由題意和基本不等式求最值可得t=x-y≤1，題目轉(zhuǎn)化為不等式ta+2a²-3≥0在t∈（-∞，1]上恒成立，分類討論可得．

解答 解：∵x，y∈R⁺，滿足$\frac{4}{x}$-$\frac{1}{y}$=1，
∴x-y=（x-y）（$\frac{4}{x}$-$\frac{1}{y}$）
=5-（$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$）≤5-2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=1
當且僅當$\frac{4y}{x}$=$\frac{x}{y}$即x=2且y=1時取等號，∴t=x-y≤1，
題目轉(zhuǎn)化為不等式ta+2a²-3≥0在t∈（-∞，1]上恒成立．
當a≥0時，顯然不成立；當a＜0時，ta+2a²-3≥0恒成立，即ta+2a²-3的最小值≥0，
∴a+2a²-3≥，解得a≤-$\frac{3}{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{3}{2}$]
故答案為：（-∞，-$\frac{3}{2}$]

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及恒成立和分類討論的思想，屬中檔題．