Question

12．已知θ為向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，關(guān)于x的一元二次方程x²-|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0有實(shí)根．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)f（θ）=sin（2θ+$\frac{π}{3}$）的最值及對(duì)應(yīng)的θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意根據(jù)△=4-4•2•1•cosθ≥0，求得cosθ的范圍，可得θ的范圍．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，函數(shù)f（θ）=sin（2θ+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（θ）=sin（2θ+$\frac{π}{3}$）的最值及對(duì)應(yīng)的θ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵θ為向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，關(guān)于x的一元二次方程x²-|$\overrightarrow{a}$|x+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0有實(shí)根．
∴△=${|\overrightarrow{a}|}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4-4•2•1•cosθ≥0，∴cosθ≤$\frac{1}{2}$，∴θ∈[$\frac{π}{3}$，π]．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，函數(shù)f（θ）=sin（2θ+$\frac{π}{3}$），
∵θ∈[$\frac{π}{3}$，π]，∴2θ+$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{7π}{3}$]，故當(dāng)2θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$時(shí)，即θ=$\frac{7π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（θ）取得最小值為-1；
當(dāng)2θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{3}$時(shí)，即θ=π時(shí)，函數(shù)f（θ）取得最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．