Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)且a≠0）滿足條件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有相等實(shí)根．
f（x）的解析式為f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．

Answer 1

分析 根據(jù)f（1+x）=f（1-x）可知f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，又方程f（x）=x有兩個(gè)相等實(shí)根可知判別式等于零，列出方程組，求出a和b的值，即可得到f（x）的解析式．

解答 解：∵f（1+x）=f（1-x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（x）的對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$=1，①
又f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=（b-1）²=0，②
由①②，解得a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
故f（x）的解析式為：f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
故答案為：f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求法，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，重點(diǎn)研究有關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)．求函數(shù)解析式常見(jiàn)的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．對(duì)于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．