Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求證：{lga_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)T_n是數(shù)列$\{\frac{3}{{（lg{a_n}）（lg{a_{n+1}}）}}\}$的前n項(xiàng)和，求T_n；
（Ⅲ）若${T_n}＞\frac{1}{2}（{m^2}-5m）$在n∈N^*上有解，求整數(shù)m的取值集合．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=9S_n+10，則當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=9S_n-1+10，相減化為a_n+1=10a_n，可得lga_n+1-lga_n=1，即可證明；
（II）由（I）可得：lga_n=n．$\frac{3}{lg{a}_{n}lg{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{n（n+1）}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．
（III）由${T_n}＞\frac{1}{2}（{m^2}-5m）$在n∈N^*上有解，$\frac{1}{2}（{m}^{2}-5m）$＜（T_n）_max，而T_n＜3，可得$\frac{1}{2}（{m}^{2}-5m）$＜3，解出即可．

解答 （1）證明：∵a_n+1=9S_n+10，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=9S_n-1+10，可得a_n+1-a_n=9a_n，化為a_n+1=10a_n，
∴l(xiāng)ga_n+1-lga_n=1，lga₁=1．
∴{lga_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
（II）解：由（I）可得：lga_n=1+（n-1）=n．
∴$\frac{3}{lg{a}_{n}lg{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{n（n+1）}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=$3[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=3$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{3n}{n+1}$．
（III）∵${T_n}＞\frac{1}{2}（{m^2}-5m）$在n∈N^*上有解，
∴$\frac{1}{2}（{m}^{2}-5m）$＜（T_n）_max，
∵T_n＜3，
∴$\frac{1}{2}（{m}^{2}-5m）$＜3，
解得-1＜m＜6，
∴整數(shù)m的取值集合為{0，1，2，3，4，5}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．