Question

2．已知點(diǎn)A（3，-2）在拋物線C：x²=2py的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由題意先求出準(zhǔn)線方程x=-2，再求出p，從而得到拋物線方程，寫出第一象限的拋物線方程，設(shè)出切點(diǎn)，并求導(dǎo)，得到切線AB的斜率，求出B的坐標(biāo)，然后求解斜率即可．

解答 解：∵點(diǎn)A（3，-2）在拋物線C：x²=2py的準(zhǔn)線上，
即準(zhǔn)線方程為：y=-2，
∴p＞0，$-\frac{p}{2}$=-2即p=4，
∴拋物線C：x²=8y，在第一象限的方程為y=$\frac{1}{8}{x}^{2}$，
設(shè)切點(diǎn)B（m，n），則n=$\frac{1}{8}{m}^{2}$，
又導(dǎo)數(shù)y′=$\frac{1}{4}$x，則在切點(diǎn)處的斜率為$\frac{1}{4}$m，
∴$\frac{\frac{1}{8}{m}^{2}+2}{m-3}$=$\frac{1}{4}$m，即，m²-6m-16=0
解得：m=8或（-2（舍去），
∴切點(diǎn)B（8，8），又F（0，2），
直線BF的斜率為：$\frac{8-2}{8-0}$=$\frac{3}{4}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查直線與拋物線相切，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率等，是一道中檔題．