Question

16．如圖所示，M、N、P分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的點．
（Ⅰ）若$\frac{BM}{MA}$=$\frac{BN}{NC}$，求證：無論點P在DD₁上如何移動，總有BP⊥MN；
（Ⅱ）棱DD₁上是否存在這樣的點P，使得平面APC₁⊥平面A₁ACC₁？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BD⊥AC．BD⊥MN．通過直線與平面垂直的判定定理證明MN⊥平面BDD₁．然后說明MN⊥BP．
（Ⅱ）存在點P，且P為DD₁的中點，使得平面APC₁⊥平面ACC₁．證明BD⊥平面ACC₁．取BD₁的中點E，連接PE，
推出PE⊥面ACC₁．然后證明面APC₁⊥面ACC₁．

解答 解：（Ⅰ）如圖所示，連接B₁M、B₁N、AC、BD，則BD⊥AC．

∵$\frac{BM}{MA}$=$\frac{BN}{NC}$，∴MN∥AC．
∴BD⊥MN．
∵DD₁⊥平面ABCD，MN?面ABCD，∴DD₁⊥MN．
∴MN⊥平面BDD₁．
∵無論P在DD₁上如何移動，總有BP?平面BDD₁，故總有MN⊥BP．
（Ⅱ）存在點P，且P為DD₁的中點，使得平面APC₁⊥平面ACC₁．

∵BD⊥AC，BD⊥CC₁，
∴BD⊥平面ACC₁．
取BD₁的中點E，連接PE，
則PE∥BD．∴PE⊥面ACC₁．
又∵PE?面APC₁，
∴面APC₁⊥面ACC₁．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應用，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查邏輯推理能力．