Question

6．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=a-2t\\ y=2\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=4sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）．
（1）當(dāng)a=0時，求直線l和圓C交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；
（2）若直線l與圓C交于P、Q兩點(diǎn)，P、Q間的劣弧長是$\frac{8π}{3}$，求直線l的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）先求出圓的直角坐標(biāo)方程和直線l：$y=-\sqrt{3}x$，由此能求出直線l和圓C交點(diǎn)的極坐標(biāo)．
（2）圓心C到直線的距離d是2，直線的直角坐標(biāo)方程是：$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}a=0$，先求出直線直角坐標(biāo)方程，由此能求出直線l的極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）∵圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=4sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），
∴圓的直角坐標(biāo)方程是x²+y²=16，…．（1分），
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=a-2t\\ y=2\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴當(dāng)a=0時，直線l：$y=-\sqrt{3}x$，…（2分）
代入x²+y²=16得x=±2，P$（2，-2\sqrt{3}）$，Q$（-2，2\sqrt{3}）$…．（3分）
則直線l和圓C交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是$（4，\frac{2π}{3}）$，$（4，\frac{5π}{3}）$…．（5分）
（2）由于P、Q間的劣弧長是$\frac{8π}{3}$，則圓心角$\frac{2π}{3}$，…．（6分）
圓心C到直線的距離d是2，直線的直角坐標(biāo)方程是：$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}a=0$，…．（7分）
$d=\frac{{|{\sqrt{3}a}|}}{2}=2$，$a=±\frac{4}{{\sqrt{3}}}$，直線直角坐標(biāo)方程是：$\sqrt{3}x+y+4=0$或$\sqrt{3}x+y-4=0$，…．（8分）
直線l的極坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ+4=0$或$\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ-4=0$…．（10分）
即$2ρcos（θ-\frac{π}{6}）+4=0$或$2ρcos（θ-\frac{π}{6}）-4=0$（寫成$2ρcos（θ-\frac{π}{6}）±4=0$或$2ρsin（θ+\frac{π}{3}）±4=0$給滿分）

點(diǎn)評 本題考查直線和圓交點(diǎn)的極坐標(biāo)及直線的極坐標(biāo)方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式的合理運(yùn)用．