Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一條準線方程為x=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（8，0），M，N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的兩個不同的點，連結(jié)PN交橢圓C于另一點E，求證：直線ME與x軸相交于定點．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{8\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，從而解橢圓的方程；
（2）由題意作圖輔助，設(shè)點N（x₁，y₁），E（x₂，y₂）則M（x₁，-y₁），設(shè)直線PN：y=kx-8k，從而聯(lián)立化簡可得（4k²+1）x²-64k²x+256k²-16=0，從而可得x₁+x₂=$\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{256{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$；假設(shè)存在定點D（d，0），從而可得$\frac{0+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{d-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，從而化簡d=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$+x₁=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-8（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-16}$=$\frac{2\frac{256{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}-8\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}}{\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}-16}$=2．

解答 解：（1）由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{8\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得，a=4，c=2$\sqrt{3}$，故b=2；
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）證明：由題意作圖象右圖，
設(shè)點N（x₁，y₁），E（x₂，y₂）則M（x₁，-y₁），
易知直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN：y=kx-8k，
聯(lián)立方程得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-8k}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
化簡可得，（4k²+1）x²-64k²x+256k²-16=0，
故x₁+x₂=$\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{256{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$；
假設(shè)存在定點D（d，0），
則$\frac{0+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{d-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
即，d=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$+x₁
=$\frac{k（{x}_{1}-8）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{k（{x}_{2}-8）+k（{x}_{1}-8）}$+x₁
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-{{x}_{1}}^{2}-8{x}_{2}+8{x}_{1}+{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}-16{x}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}-16}$
=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-8（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-16}$
=$\frac{2\frac{256{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}-8\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}}{\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}-16}$=2；
故直線ME與x軸相交于定點（2，0）．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，關(guān)鍵在于化簡運算．