Question

對(duì)a、b＞0，a≠b，已知下列不等式成立：
①2ab＜a²+b²；②ab²+a²b＜a³+b³；
③ab³+a³b＜a⁴+b⁴；④ab⁴+a⁴b＜a⁵+b⁵．
（1）用類比的方法寫出

 

＜a⁶+b⁶；
（2）若a、b＞0，a≠b，證明：ab²+a²b＜a³+b³；
（3）將上述不等式推廣到一般情形，請(qǐng)寫出你所得結(jié)論的數(shù)學(xué)表達(dá)式（不必證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：計(jì)算題,推理和證明

分析：（1）類比答案不唯一，得出的結(jié)論不一定正確，（2）作差證明，（3）歸納推理得到的結(jié)論也不一定正確．

解答： 解：（1）類比得到：ab⁵+a⁵b＜a⁶+b⁶；（或a²b⁴+a⁴b²＜a⁶+b⁶或2a³b³＜a⁶+b⁶）；
（2）∵a³+b³-（a²b+ab²）=a³+b³-a²b-ab²=a²（a-b）+b²（b-a）
=（a-b）（a²-b²）=（a-b）²（a+b）
又∵a，b＞0，a≠b，
∴a+b＞0，（a-b）²＞0，
∴a³+b³-（a²b+ab²）＞0
∴a²b+ab²＜a³+b³．
（3）一般情形為：a^mbⁿ+aⁿb^m＜a^m+n+b^m+n（a＞0，b＞0，a≠b，m，n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了類比推理及歸納推理，其結(jié)論的正確性要通過證明才可以．