Question

15．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，已知n∈N^*，且g（x）=C${\;}_{n}^{0}$f（$\frac{o}{n}$）x⁰（1-x）ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$f（$\frac{1}{n}$）x¹（1-x）^n-1+C${\;}_{n}^{2}$f（$\frac{2}{n}$）x²（1-x）^n-2+…+C${\;}_{n}^{n}$f（$\frac{n}{n}$）xⁿ（1-x）ⁿ．
（1）若f（x）=1，求g（x）；
（2）若f（x），求g（x）．

Answer 1

分析 （1）f（x）=1，f（$\frac{0}{n}$）=f（$\frac{1}{n}$）=…=f（$\frac{n}{n}$）=1，即可求g（x）；
（2）利用$r{C}_{n}^{r}$=n${C}_{n-1}^{r-1}$（r=1，2，…，n），f（x）=x，求g（x）．

解答 解：（1）∵f（x）=1，∴f（$\frac{0}{n}$）=f（$\frac{1}{n}$）=…=f（$\frac{n}{n}$）=1，…（1分）
∴g（x）=[（1-x）+x]ⁿ=1．
∵0⁰無(wú)意義，∴g（x）=1，且x≠0，x≠1，x∈R．…（4分）
（2）∵$r{C}_{n}^{r}$=n${C}_{n-1}^{r-1}$（r=1，2，…，n），f（x）=x，
∴g（x）=C${\;}_{n}^{0}$x⁰（1-x）ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$•$\frac{1}{n}$x¹（1-x）^n-1+C${\;}_{n}^{2}$•$\frac{2}{n}$•x²（1-x）^n-2+…+C${\;}_{n}^{n}$xⁿ（1-x）⁰
=$\frac{1}{n}$•n•[C_n-1⁰x（1-x）^n-1+C_n-1¹•x²（1-x）^n-2+…+C_n-1^n-1xⁿ（1-x）⁰
=x[（1-x）+x]^n-1=x．
即g（x）=x，且x≠0，x≠1，x∈R．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．