Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²e^-2ax（a＞0）
（1）已知函數(shù)f（x）的曲線在x=1處的切線方程為y=-2e^-4x+b，求實數(shù)a、b的值．
（2）求函數(shù)在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=（2x-2ax²）e^-2ax，從而可得f′（1）=（2-2a）e^-2a═-2e^-4；從而解出a，代入求b；
（2）由（1）可得f（x）=x²e^-4x，f′（x）=（2x-4x²）e^-4x；從而可得f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減；從而求最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=x²e^-2ax，f′（x）=（2x-2ax²）e^-2ax；
∴f′（1）=（2-2a）e^-2a═-2e^-4；
解得，a=2，
則f（x）=x²e^-4x，f（1）=e^-4，
故直線y=-2e^-4x+b過點（1，e^-4）；
故b=3e^-4；
（2）由（1）得，
f（x）=x²e^-4x，f′（x）=（2x-4x²）e^-4x；
則當(dāng)x∈[1，2]時，f′（x）=（2x-4x²）e^-4x＜0，
故f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減；
故f_max（x）=f（1）=e^-4．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．