Question

2．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．其中L，M，N分別是函數(shù)f（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點．且LM=3OL，∠NM0=45°，線段MN的中點P的坐際為（2，一2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單凋遞減區(qū)間以及當(dāng)x∈[4，8]時，函數(shù)f（x）的取值范圍．
（3）若過點M的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于B，C兩點．求（$\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC}$）•（$\overrightarrow{LC}-\overrightarrow{MC}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得M，N的坐標(biāo)，利用距離公式求出周期，ω的值，通過五點法求出函數(shù)的解析式，即可求出φ，A的值，即可求得函數(shù)解析式．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單凋遞減區(qū)間，當(dāng)x∈[4，8]時，$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{7π}{3}$]，可得sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，即可得解．
（3）利用向量的基本運算和向量的數(shù)量積定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）與坐標(biāo)軸的三個交點L，M，N滿足LM=3OL，∠NMO=$\frac{π}{4}$，P（2，-2）為線段MN的中點，
∴可得M（4，0），N（0，-4），|LM|=3，T=6=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)經(jīng)過M，N，有$\left\{\begin{array}{l}{Asin（\frac{π}{3}×4+φ）=0}\\{-4=Asin（\frac{π}{3}×0+φ）}\end{array}\right.$，
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴解得A=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單凋遞減區(qū)間為：[6k+$\frac{5}{2}$，6k+$\frac{11}{2}$]，k∈Z．
∵當(dāng)x∈[4，8]時，$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{7π}{3}$]，可得sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴f（x）=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，4]．
（3）∵由題意及向量的平行四邊形法則可知：$\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC}$=2$\overrightarrow{LM}$，又$\overrightarrow{LC}-\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{LC}-（-\overrightarrow{CM}）$=$\overrightarrow{LC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{LM}$，
∴（$\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC}$）•（$\overrightarrow{LC}-\overrightarrow{MC}$）=2$\overrightarrow{LM}$$•\overrightarrow{LM}$=2|$\overrightarrow{LM}$|²=2×3²=18．

點評 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了向量的數(shù)量積運算，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基本知識的考查．