Question

17．已知函數(shù)f（x）=2asin²x+2sinxcosx-a的圖象關(guān)于直線x=$\frac{5π}{12}$對稱．
（1）求常數(shù)a；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（0）=f（$\frac{5π}{6}$），即0-a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-a•$\frac{1}{2}$，由此求得a的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2asin²x+2sinxcosx-a=sin2x-acos2x 的圖象關(guān)于直線x=$\frac{5π}{12}$對稱．
故f（0）=f（$\frac{5π}{6}$），即0-a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-a•$\frac{1}{2}$，求得a=$\sqrt{3}$．
（2）由（1）可得f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\sqrt{3}$，當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2，
故函數(shù)的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．