Question

15．已知過點(diǎn)M（-1，0）的直線交橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）于A，B兩點(diǎn)，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且當(dāng)直線AB垂直x軸時(shí)，|AB|=$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)N（0，m）在橢圓C內(nèi)，過點(diǎn)N且垂直AB的直線交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的直線AB，$\frac{1}{|MA|•|MB|}$+$\frac{1}{|ND|•|NE|}$為定值？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線AB垂直x軸時(shí)，|AB|=$\sqrt{3}$．可得$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)直線AB的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，代入橢圓方程可得：（1+3sin²α）t²-6tcosα-3=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：$\frac{1}{|MA|•|MB|}$=-$\frac{1}{{t}_{1}{t}_{2}}$．設(shè)直線DE的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=scosβ}\\{y=m+ssinβ}\end{array}\right.$，由于β=α±90°，可得sin²β=cos²α．同理可得：$\frac{1}{|ND|•|NE|}$=-$\frac{1}{{s}_{1}{s}_{2}}$．即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)直線AB垂直x軸時(shí)，|AB|=$\sqrt{3}$．∴$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{3}$，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得b²=3，a²=12，c=3．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設(shè)直線AB的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，
代入橢圓方程可得：（1+3sin²α）t²-2tcosα-11=0，
∴t₁t₂=$\frac{-11}{1+3si{n}^{2}α}$，
∴$\frac{1}{|MA|•|MB|}$=-$\frac{1}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{1+3si{n}^{2}α}{11}$．
設(shè)直線DE的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=scosβ}\\{y=m+ssinβ}\end{array}\right.$，
代入橢圓方程可得：（1+3sin²β）s²+8smsinβ+4m²-12=0，
△＞0，
s₁s₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{1+3si{n}^{2}β}$，
β=α±90°，
sinβ=±cosα．
可得sin²β=cos²α．
∴$\frac{1}{|ND|•|NE|}$=-$\frac{1}{{s}_{1}{s}_{2}}$=$\frac{1+3si{n}^{2}β}{12-4{m}^{2}}$．
∴$\frac{1}{|MA|•|MB|}$+$\frac{1}{|ND|•|NE|}$=$\frac{1+3si{n}^{2}α}{11}$+$\frac{1+3si{n}^{2}β}{12-4{m}^{2}}$．
由上式不難看出：當(dāng)11=12-4m²時(shí)，即m=$±\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{|MA|•|MB|}$+$\frac{1}{|ND|•|NE|}$=$\frac{1+3si{n}^{2}α}{11}$+$\frac{1+3si{n}^{2}α}{11}$=$\frac{4}{11}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．