Question

9．已知f（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1
（Ⅰ）當a=$\frac{1}{2}$時，解不等式f（x）≥0；
（Ⅱ）若a＞0，解關(guān)于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=$\frac{1}{2}$時，不等式f（x）≥0 即 x²-$\frac{3}{2}$x+1≥0，從而求得它的解．
（Ⅱ）不等式f（x）≤0，即（x-$\frac{1}{a}$）（x-a）≤0，分類討論求得它的解集．

解答 解：（Ⅰ）當a=$\frac{1}{2}$時，有f（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1=x²-$\frac{3}{2}$x+1，
不等式f（x）≥0 即 x²-$\frac{3}{2}$x+1≥0，即 （x-$\frac{1}{2}$）（x-2）≥0，求得x≤$\frac{1}{2}$或 x≥2，
∴不等式的解為：{x|x≤$\frac{1}{2}$或 x≥2 }．
（Ⅱ）∵不等式f（x）≤0，即（x-$\frac{1}{a}$）（x-a）≤0，
又∵a＞0，當0＜a＜1時，有$\frac{1}{a}$＞a，∴不等式的解集為{x|a≤x≤$\frac{1}{a}$}，
當a＞1時，有$\frac{1}{a}$＜a，∴不等式的解集為{x|a≥x≥$\frac{1}{a}$}；
當a=1時，不等式的解為x=1．

點評 本題主要考查一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．