分析 (1)先根據(jù)圓C1的方程求出圓心和半徑,再根據(jù)垂直及中點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件,求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),即可求得關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程.
(2)把直線l的方程與圓的方程聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$>12,列出關(guān)于k的不等式,即可求k的取值范圍.
解答 解:(1)圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1的圓心為 C1(2,3),半徑為1,
設(shè)圓心C1(2,3)關(guān)于直線y=-x+1的對(duì)稱點(diǎn)為C2(m,n),
則由 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-3}{m-2}=1}\\{\frac{n+3}{2}=-\frac{m+2}{2}+1}\end{array}\right.$,求得m=-2,n=-1,故C2(-2,-1),
再根據(jù)半徑為1,可得圓C2的方程為(x+2)2+(y+1)2=1,
(2)把直線方程與圓方程聯(lián)立,消去y得到(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1和x2為(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0的兩個(gè)根,
則MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)x1+x2=$\frac{4(1+k)}{1+{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$+$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{1+{k}^{2}}$>12,
即12k2+4k+8>12(1+k2),解得k>1.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求一個(gè)圓關(guān)于一條直線的對(duì)稱的圓的方程的方法,考查韋達(dá)定理化簡求值,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | y=sin2x | B. | y=-|x+1| | C. | y=ln$\frac{2+x}{2-x}$ | D. | y=$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$ |
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A. | {x|x>1} | B. | {x|x<-1或x>1} | C. | {x|x<0或x>1} | D. | {x|x>0} |
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