Question

17．設(shè)直線l過點(diǎn)M（1，1），傾斜角為$\frac{π}{6}$
（1）寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）求直線l與直線l₁：x-y-2$\sqrt{3}$=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PM|；
（3）已知直線l與圓C：x²+y²=4交于兩點(diǎn)A、B，求：AB中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線上任意一點(diǎn)到M的有向距離為t，得出該點(diǎn)的坐標(biāo)，即為直線的參數(shù)方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入直線l₁的方程求出t，即為|PM|，將t代入?yún)��?shù)方程求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）聯(lián)立直線l與圓C的方程消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入x-y-2$\sqrt{3}$=0得$\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{1}{2}t-2\sqrt{3}=0$，
解得t=6+2$\sqrt{3}$．
∴x=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6+2$\sqrt{3}$）=4+3$\sqrt{3}$，y=1+$\frac{1}{2}$（6+2$\sqrt{3}$）=4+$\sqrt{3}$．
即P（4+3$\sqrt{3}$，4+$\sqrt{3}$）．
∴|PM|=t=6+2$\sqrt{3}$．
（3）直線l的普通方程為y-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消元得2x²+（1-$\sqrt{3}$）x-4-$\sqrt{3}$=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁+x₂）-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2=$\frac{15-5\sqrt{3}}{6}$．
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{15-5\sqrt{3}}{12}$）．

點(diǎn)評 本題考查了直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．