Question

7．定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{a_n}，{f（a_n）}，仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“等比函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（-∞），0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：
①f（x）=3^x，
②f（x）=$\frac{2}{x}$，
③f（x）=x³，
④f（x）=log₂|x|，
則其中是“等比函數(shù)”的f（x）的序號為（　�。�

• A． ①②③④
• B． ①④
• C． ①②④
• D． ②③

Answer 1

分析 不妨設等比數(shù)列{a_n}中，a_n=a₁•q^n-1，從而依次求$\frac{f（{a}_{n+1}）}{f（{a}_{n}）}$，從而判斷是否是等比數(shù)列即可．

解答 解：不妨設等比數(shù)列{a_n}中，a_n=a₁•q^n-1，
①∵f（x）=3^x，
∴$\frac{f（{a}_{n+1}）}{f（{a}_{n}）}$=$\frac{{3}^{{a}_{n+1}}}{{3}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{3}^{{a}_{1}{q}^{n}}}{{3}^{{a}_{1}{q}^{n-1}}}$
=${3}^{{q}^{n}-{q}^{n-1}}$=${3}^{{q}^{n-1}（1-q）}$常數(shù)，
故當q≠1時，{f（a_n）}不是等比數(shù)列，
故f（x）=3^x不是等比函數(shù)；
②∵f（x）=$\frac{2}{x}$，
∴$\frac{f（{a}_{n+1}）}{f（{a}_{n}）}$=$\frac{\frac{2}{{a}_{1}{q}^{n}}}{\frac{2}{{a}_{1}{q}^{n-1}}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{n-1}}{{a}_{1}{q}^{n}}$=$\frac{1}{q}$，
故{f（a_n）}是等比數(shù)列，
故f（x）=$\frac{2}{x}$是等比函數(shù)；
③∵f（x）=x³，
∴$\frac{f（{a}_{n+1}）}{f（{a}_{n}）}$=$\frac{（{a}_{1}{q}^{n}）^{3}}{（{a}_{1}{q}^{n-1}）^{3}}$═q³，
故{f（a_n）}是等比數(shù)列，
故f（x）=x³是等比函數(shù)；
④f（x）=log₂|x|，
∴$\frac{f（{a}_{n+1}）}{f（{a}_{n}）}$=$\frac{lo{g}_{2}|{a}_{1}{q}^{n}|}{lo{g}_{2}|{a}_{1}{q}^{n-1}|}$=$\frac{lo{g}_{2}|{a}_{1}|+nlo{g}_{2}|q|}{lo{g}_{2}|{a}_{1}|+（n-1）lo{g}_{2}|q|}$，
故{f（a_n）}不是等比數(shù)列，
故f（x）=log₂|x|不是等比函數(shù)．
故其中是“等比函數(shù)”的f（x）的序號②③，
故選：D．

點評 本題考查了等比數(shù)列的應用及等比函數(shù)的判斷，同時考查了學生對新知識的接受與應用能力．