Question

3．已知定義域為R的單調(diào)減函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=$\frac{x}{3}$-2^x．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求f（0）的值；
（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，f（x）在R上是減函數(shù)，所以t²-2t＞k-2t²．即3t²-2t-k＞0對任意t∈R恒成立，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
所以f（0）=0．（2分）
（Ⅱ）因為當x＜0時，-x＞0，
所以$f（-x）=\frac{-x}{3}-{2^{-x}}$．
又因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）．
所以$f（x）=\frac{x}{3}+{2^{-x}}$．
綜上，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}-{2^x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{\frac{x}{3}+{2^{-x}}，x＜0}\end{array}}\right.$（6分）
（Ⅲ）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）．
因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（t²-2t）＜f（k-2t²）．又f（x）在R上是減函數(shù)，所以t²-2t＞k-2t²．
即3t²-2t-k＞0對任意t∈R恒成立．
方法一令3t²-2t-k=0，則△=4+12k＜0．由△＜0，解得$k＜-\frac{1}{3}$．
方法二即k＜3t²-2t對任意t∈R恒成立．令g（t）=3t²-2t，t∈R
則$g（t）=3{t^2}-2t=3（{t^2}-\frac{2}{3}t）=3{（t-\frac{1}{3}）^2}-\frac{1}{3}≥-\frac{1}{3}$∴$k＜-\frac{1}{3}$
故實數(shù)k的取值范圍為$（-∞，-\frac{1}{3}）$． （10分）

點評 本題考查函數(shù)的解析式，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用單調(diào)性和參數(shù)分離，以及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．