Question

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點(diǎn)
（1）求證：BD₁∥平面AEC
（2）求證：平面D₁DB⊥平面AEC
（3）若P為對(duì)角線D₁B的中點(diǎn)，Q為棱C₁C上的動(dòng)點(diǎn)求|PQ|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,轉(zhuǎn)化思想,空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）連接BD交AC于F，連EF．可證EF∥D₁B，又EF?平面EAC，從而可求得BD₁∥平面EAC．
（2）先證明AC⊥BD，有DD₁⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，可證明DD₁⊥AC，從而可證AC⊥平面D₁DB，即證明平面D₁DB⊥平面AEC；
（3）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA方向?yàn)閤軸，DC方向?yàn)閥軸，DD1方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系，先求出D₁（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），再求出D₁B的中點(diǎn)P（1，1，1），Q（0，2，z），從而可得PQ=

2+(z-1)2

，可得當(dāng)z=1時(shí)（此時(shí)Q為棱C₁C的中點(diǎn)），PQ_min=

2

．

解答： （1）證明：連接BD交AC于F，連EF，
因?yàn)镕為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
所長(zhǎng)F為AC、BD的中點(diǎn)，
在DDD₁B中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)，
所以EF∥D₁B，
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．
（2）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD …5分
又在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面ABCD，…6分
又AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，…7分
DD₁?平面D₁DB，BD?平面D₁DB，BD∩DD₁=D，…8分
∴AC⊥平面D₁DB …9分
∵AC?平面AEC，
∴平面D₁DB⊥平面AEC …10分
（3）解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA方向?yàn)閤軸，DC方向?yàn)閥軸，DD1方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系，…11分
由正方體的棱長(zhǎng)為2，知D₁（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），
則D₁B的中點(diǎn)P（1，1，1），Q（0，2，z）…12分
PQ=

2+(z-1)2

，…13分
∴當(dāng)z=1時(shí)（此時(shí)Q為棱C₁C的中點(diǎn)），PQ_min=

2

…14分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，空間向量及應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．