6．已知a＞1，b＞1，且$\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}=1$，則a+4b的最小值為（　　）
A．13B．14C．15D．16

分析 換元可化問題為s＞0，t＞0且$\frac{1}{s}$+$\frac{1}{t}$=1，代入可得a+4b=10+$\frac{4t}{s}$+$\frac{s}{t}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞1，b＞1，且$\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}=1$，
令a-1=s，b-1=t，則a=s+1，b=t+1，
則s＞0，t＞0且$\frac{1}{s}$+$\frac{1}{t}$=1，
a+4b=（s+1）+4（t+1）=s+4t+5
=（s+4t）（$\frac{1}{s}$+$\frac{1}{t}$）+5=10+$\frac{4t}{s}$+$\frac{s}{t}$
≥10+2$\sqrt{\frac{4t}{s}•\frac{s}{t}}$=14，
當且僅當$\frac{4t}{s}$=$\frac{s}{t}$即s=3且t=$\frac{3}{2}$時取等號，
解得a=s+1=4，b=t+1=$\frac{5}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查基本不等式求最值，換元并變形為可以基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬基礎題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

18．己知當且僅當a∈（m，n）時，$\frac{2-ax+{x}^{2}}{1-x+{x}^{2}}$＜3對x∈R恒成立，則m+n=6．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．下列函數(shù)f（x）與g（x）是相同函數(shù)的是（　�。�
A．f（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}-1}$，g（x）=$\frac{1}{1+x}$B．f（x）=（$\sqrt{x}$）2，g（x）=$\sqrt{{x}^{2}}$
C．f（x）=$\root{3}{{x}^{4}-{x}^{3}}$，g（x）=x$\root{3}{x-1}$D．f（x）=1，g（x）=sin（arcsinx）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

14．若實數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}≤1}\\{2x-y≥0}\end{array}\right.$，則z=x+y的最大值是（　�。�
A．$\frac{3\sqrt{5}}{5}$B．$\frac{\sqrt{5}}{5}$C．$\sqrt{2}$D．1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

1．矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=2，點E、F分別為線段BC、CD邊上的動點，且滿足EF=1，則$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$的最小值是（　　）
A．12B．16C．20D．24

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，則a+4b的最小值為（　�。�
A．4B．9C．10D．12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

18．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，則（　　）
A．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增B．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減
C．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為-2D．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為-1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．已知實數(shù)x，y滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-4＜0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，則使等式（t+2）x+（t-1）y+2t+4=0成立的t取值范圍為（　　）
A．[-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{2}$）B．（-∞，-$\frac{5}{4}$]∪（-$\frac{1}{2}$，+∞）C．[-$\frac{5}{4}$，1）D．[-$\frac{1}{2}$，1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

16．設$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為單位向量，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為60°，若$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$-y$\overrightarrow{{e}_{2}}$（其中x＞0，y＞0），則|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{7}$，$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$的最大值是$\sqrt{3}$．

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