6.已知a>1,b>1,且$\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}=1$,則a+4b的最小值為(  )
A.13B.14C.15D.16

分析 換元可化問題為s>0,t>0且$\frac{1}{s}$+$\frac{1}{t}$=1,代入可得a+4b=10+$\frac{4t}{s}$+$\frac{s}{t}$,由基本不等式可得.

解答 解:∵a>1,b>1,且$\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}=1$,
令a-1=s,b-1=t,則a=s+1,b=t+1,
則s>0,t>0且$\frac{1}{s}$+$\frac{1}{t}$=1,
a+4b=(s+1)+4(t+1)=s+4t+5
=(s+4t)($\frac{1}{s}$+$\frac{1}{t}$)+5=10+$\frac{4t}{s}$+$\frac{s}{t}$
≥10+2$\sqrt{\frac{4t}{s}•\frac{s}{t}}$=14,
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4t}{s}$=$\frac{s}{t}$即s=3且t=$\frac{3}{2}$時取等號,
解得a=s+1=4,b=t+1=$\frac{5}{2}$,
故選:B.

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值,換元并變形為可以基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.己知當(dāng)且僅當(dāng)a∈(m,n)時,$\frac{2-ax+{x}^{2}}{1-x+{x}^{2}}$<3對x∈R恒成立,則m+n=6.

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19.下列函數(shù)f(x)與g(x)是相同函數(shù)的是( 。
A.f(x)=$\frac{x-1}{{x}^{2}-1}$,g(x)=$\frac{1}{1+x}$B.f(x)=($\sqrt{x}$)2,g(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$
C.f(x)=$\root{3}{{x}^{4}-{x}^{3}}$,g(x)=x$\root{3}{x-1}$D.f(x)=1,g(x)=sin(arcsinx)

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14.若實(shí)數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}≤1}\\{2x-y≥0}\end{array}\right.$,則z=x+y的最大值是( 。
A.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$C.$\sqrt{2}$D.1

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1.矩形ABCD中,AB=2$\sqrt{3}$,AD=2,點(diǎn)E、F分別為線段BC、CD邊上的動點(diǎn),且滿足EF=1,則$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AF}$的最小值是( 。
A.12B.16C.20D.24

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11.已知a>0,b>0,且$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$,則a+4b的最小值為(  )
A.4B.9C.10D.12

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18.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的部分圖象如圖所示,則( 。
A.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增B.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減
C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上的最小值為-2D.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上的最小值為-1

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15.已知實(shí)數(shù)x,y滿足:$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-4<0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$,則使等式(t+2)x+(t-1)y+2t+4=0成立的t取值范圍為( 。
A.[-$\frac{5}{4}$,-$\frac{1}{2}$)B.(-∞,-$\frac{5}{4}$]∪(-$\frac{1}{2}$,+∞)C.[-$\frac{5}{4}$,1)D.[-$\frac{1}{2}$,1)

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16.設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$為單位向量,且$\overrightarrow{{e}_{1}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為60°,若$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$-y$\overrightarrow{{e}_{2}}$(其中x>0,y>0),則|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{7}$,$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$的最大值是$\sqrt{3}$.

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